Sistem Bilangan
Sistem bilangan dalam kalkulus adalah hierarki atau perluasan dari himpunan bilangan yang memungkinkan kita melakukan operasi matematika yang lebih kompleks, terutama limit, turunan, dan integral. Kalkulus membutuhkan sistem bilangan yang "lengkap" tanpa celah, yang dalam matematika disebut bilangan real.
Bayangkan kalkulus sebagai game RPG epik! Nah, sistem bilangan adalah hero dan equipment yang bakal bikin karaktermu jadi overpowered!
Jenis-Jenis Bilangan
1. Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan untuk menghitung: 1, 2, 3, 4, ...
Contoh: Jumlah apel, jumlah siswa
2. Bilangan Bulat (ℤ)
Bilangan asli + nol + bilangan negatif: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Contoh: Suhu (-5°C), saldo bank (-Rp 50.000)
3. Bilangan Rasional (ℚ)
Bilangan yang bisa ditulis sebagai pecahan a/b, dimana a dan b bilangan bulat, b ≠ 0
Contoh: ½, ¾, 0.25, 0.333...
4. Bilangan Irasional
Bilangan yang TIDAK bisa ditulis sebagai pecahan
Contoh: π (pi), √2, e (bilangan Euler)
5. Bilangan Real (ℝ)
Gabungan bilangan rasional + irasional = semua bilangan di garis bilangan
Ini adalah "homebase" kalkulus!
Mengapa Kalkulus Butuh Bilangan Real?
Kalkulus bekerja dengan konsep limit - mendekati nilai tertentu sedekat mungkin. Bayangkan kita ingin menghitung kemiringan garis di titik tertentu:
Kita ambil titik yang semakin dekat... semakin dekat... tapi tidak pernah benar-benar sama!
Hanya dengan bilangan real (yang tidak ada celahnya) konsep ini bisa bekerja dengan sempurna!
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah pernyataan matematis yang membandingkan dua nilai dengan menggunakan tanda ketidaksamaan, seperti <, >, ≤, atau ≥.
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
- Jika a > b dan b > c, maka a > c (sifat transitif)
- Jika a > b, maka a + c > b + c
- Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc
- Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc (tanda berbalik)
Contoh: x + 3 > 7
Penyelesaian: x + 3 > 7 → x > 7 - 3 → x > 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 4}
Pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan berbagai metode, seperti menambahkan atau mengurangkan kedua sisi dengan bilangan yang sama, atau mengalikan/membagi dengan bilangan positif (jika bilangan negatif, tanda berbalik).
Fungsi
Fungsi adalah hubungan antara dua himpunan, di mana setiap elemen di himpunan pertama (domain) dipetakan ke tepat satu elemen di himpunan kedua (kodomain).
Jenis-Jenis Fungsi
- Fungsi Linear: f(x) = ax + b
- Fungsi Kuadrat: f(x) = ax² + bx + c
- Fungsi Eksponensial: f(x) = a^x
- Fungsi Logaritma: f(x) = logₐ(x)
- Fungsi Trigonometri: sin(x), cos(x), tan(x)
Contoh: f(x) = x²
Domain: semua bilangan real
Kodomain: semua bilangan real non-negatif
f(2) = 4, f(-3) = 9, f(0) = 0
Fungsi dapat direpresentasikan dalam bentuk rumus, grafik, atau tabel. Pemahaman tentang fungsi sangat penting dalam kalkulus karena turunan dan integral bekerja pada fungsi.
Limit
Limit adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika inputnya mendekati suatu titik. Konsep limit merupakan dasar dari kalkulus, terutama dalam definisi turunan dan integral.
Sifat-Sifat Limit
- lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)
- lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)
- lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)
- lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x), asalkan lim(x→a) g(x) ≠ 0
Contoh: lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2)
Penyelesaian: (x² - 4)/(x - 2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2, untuk x≠2
Jadi, lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2) = lim(x→2) (x+2) = 4
Limit membantu kita memahami perilaku fungsi di titik-titik yang tidak terdefinisi atau di tak hingga.
Turunan
Turunan mengukur bagaimana suatu fungsi berubah ketika inputnya berubah. Turunan dari suatu fungsi di suatu titik adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.
Aturan Diferensiasi
- Aturan Pangkat: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹
- Aturan Konstanta: d/dx(c) = 0
- Aturan Penjumlahan: d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
- Aturan Perkalian: d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
- Aturan Pembagian: d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
Contoh: Turunan dari f(x) = x²
Menggunakan aturan pangkat: f'(x) = 2x²⁻¹ = 2x
Jadi, turunan dari f(x) = x² adalah f'(x) = 2x
Turunan memiliki banyak aplikasi, seperti dalam mencari kecepatan sesaat, percepatan, dan optimasi.
Integral
Integral adalah kebalikan dari turunan. Integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva, volume, dan banyak lagi.
Jenis-Jenis Integral
- Integral Tak Tentu: ∫f(x) dx = F(x) + C, di mana F'(x) = f(x)
- Integral Tentu: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Contoh: ∫(3x² + 2x) dx
Penyelesaian: ∫(3x² + 2x) dx = x³ + x² + C
Contoh integral tentu: ∫[0,2] (3x² + 2x) dx = [x³ + x²] dari 0 sampai 2 = (8 + 4) - (0 + 0) = 12
Integral memiliki aplikasi luas dalam fisika, teknik, ekonomi, dan banyak bidang lainnya untuk menghitung akumulasi perubahan.